Родился 14 мая 1921 года в городе Шадринске Курганской области в семье потомственных железнодорожников. Начал заниматься на тромбоне в самодеятельном духовом оркестре в 1932 г. В 1936 г. поступил в Свердловское музыкальное училище им. П. И. Чайковского, где его педагогами были А. Г. Волков и И. М. Жилинский и консультантом — В. И.Щёлоков. Уже с третьего курса, в 17 лет, был принят в группу тромбонов оркестра Свердловского театра оперы и балета им. А.В. Луначарского. В 1990 г. Б.Г. Манжора был удостоен почетного звания Заслуженный деятель искусств РСФСР. В 1992 г. он становится членом Союза театральных деятелей России. Более сорока лет продолжалась его исполнительская и просветительская деятельность как тромбониста и музыковеда. В его классе подготовлено более двухсот учеников — тромбонистов, тубистов, музыковедов. Им опубликовано более трёхсот музыковедческих и методических работ, среди которых книги «Саратовский академический театр оперы и балета» (в 2-х томах), «Государственный Уральский русский народный хор», «Методика обучения игре на тромбоне» (Киев, 1976). Среди музыкальных произведений, написанных Б.Г. Манжорой, известность получили произведения для тромбона: «Концертный этюд», «Эскиз», «Концерт для тромбона и фортепиано».18 апреля 2011 г. в Большом зале Саратовской консерватории имени Л. Собинова состоялся мемориальный концерт, посвященный 90-летию профессора Б.Г. Манжоры.
Засл. работник культуры РСФСР (1969). В 1953 окончил Уральскую конс. по кл. вокала (занимался также в кл. ф-п. и композиции). В 1943—1946 музыкант военного орк. В 1946—1949 артист Ансамбля песни и пляски Уральского военного округа. В 1949—1953 преподаватель Свердловской школы музыкантских воспитанников Сов. Армии. С 1953 худож. рук. Тюменской филармонии. С 1966 пред. Тюменской секции Уральской организации Союза композиторов РСФСР. Ведет лекторскую работу, муз. комментатор радио и телевидения, автор статей и рецензий, в т. ч. "Открытое письмо Г. Отсу, Ю. Гуляеву, М. Магомаеву" ("СМ", 1974, № 3), "Тюменские дни музыки" ("СМ", 1974, № 5), "Дни музыки в Тюмени" ("СМ", 1975, № 6).
