Родился 14 мая 1921 года в городе Шадринске Курганской области в семье потомственных железнодорожников. Начал заниматься на тромбоне в самодеятельном духовом оркестре в 1932 г. В 1936 г. поступил в Свердловское музыкальное училище им. П. И. Чайковского, где его педагогами были А. Г. Волков и И. М. Жилинский и консультантом — В. И.Щёлоков. Уже с третьего курса, в 17 лет, был принят в группу тромбонов оркестра Свердловского театра оперы и балета им. А.В. Луначарского. В 1990 г. Б.Г. Манжора был удостоен почетного звания Заслуженный деятель искусств РСФСР. В 1992 г. он становится членом Союза театральных деятелей России. Более сорока лет продолжалась его исполнительская и просветительская деятельность как тромбониста и музыковеда. В его классе подготовлено более двухсот учеников — тромбонистов, тубистов, музыковедов. Им опубликовано более трёхсот музыковедческих и методических работ, среди которых книги «Саратовский академический театр оперы и балета» (в 2-х томах), «Государственный Уральский русский народный хор», «Методика обучения игре на тромбоне» (Киев, 1976). Среди музыкальных произведений, написанных Б.Г. Манжорой, известность получили произведения для тромбона: «Концертный этюд», «Эскиз», «Концерт для тромбона и фортепиано».18 апреля 2011 г. в Большом зале Саратовской консерватории имени Л. Собинова состоялся мемориальный концерт, посвященный 90-летию профессора Б.Г. Манжоры.
Народная артистка России (1991), Заслуженный деятель искусств России, Лауреат премии Губернатора Свердловской области за выдающийся вклад в развитие культуры и искусства (2000). Окончила Ленинградскую консерваторию по классу композиции у Д. Шостаковича (1941). Автор 10 опер («Северное сияние» - 1941; «Непокоренные» - 1944; «Хождение по мукам» - 1948; «Половодье» - 1962; «Любава» - 1967; «Мальчиш-кабальчиш» - 1969; «Рыцарская баллада» - 1971; «Заветная песня» - 1979; «Сон о белых горах» - 1984; «Сестры мои» - 1985; музыкальных комедий («Марк Береговик» - 1955; «Любовь бывает разная» - 1957); балета «Каслинский павильон (1967): двух симфоний (1946, 1987): концертов для фагота (1986), скрипки и альта (1988), трубы (1990) с оркестром; кантат «Родина» (1944), «Урал-богатырь» (1945), «Свет уходящих звезд» (1988).