Родился 14 мая 1921 года в городе Шадринске Курганской области в семье потомственных железнодорожников. Начал заниматься на тромбоне в самодеятельном духовом оркестре в 1932 г. В 1936 г. поступил в Свердловское музыкальное училище им. П. И. Чайковского, где его педагогами были А. Г. Волков и И. М. Жилинский и консультантом — В. И.Щёлоков. Уже с третьего курса, в 17 лет, был принят в группу тромбонов оркестра Свердловского театра оперы и балета им. А.В. Луначарского. В 1990 г. Б.Г. Манжора был удостоен почетного звания Заслуженный деятель искусств РСФСР. В 1992 г. он становится членом Союза театральных деятелей России. Более сорока лет продолжалась его исполнительская и просветительская деятельность как тромбониста и музыковеда. В его классе подготовлено более двухсот учеников — тромбонистов, тубистов, музыковедов. Им опубликовано более трёхсот музыковедческих и методических работ, среди которых книги «Саратовский академический театр оперы и балета» (в 2-х томах), «Государственный Уральский русский народный хор», «Методика обучения игре на тромбоне» (Киев, 1976). Среди музыкальных произведений, написанных Б.Г. Манжорой, известность получили произведения для тромбона: «Концертный этюд», «Эскиз», «Концерт для тромбона и фортепиано».18 апреля 2011 г. в Большом зале Саратовской консерватории имени Л. Собинова состоялся мемориальный концерт, посвященный 90-летию профессора Б.Г. Манжоры.

засл. деятель иск-в РФ (1981), почетный работник высшего профес. образования РФ (1999), чл. СК России (1967), чл.-корр. Петровской академии наук и искусств (Санкт-Петербург, 2000). В 1944 окончил Чел. ремесл. уч-ще № 2. Работал слесарем-инструментальщиком, токарем-карусельщиком на ЧТЗ (1944–46). Все эти годы занимался в кружке художеств. самодеятельности ДК ЧТЗ. В 1950 окончил духовое отделение Чел. муз. уч-ща им. П. И. Чайковского, в 1955 – Урал. гос. консерваторию им. М. П. Мусоргского по классу кларнета, в 1961 – по классу композиции. С 1961 живет и работает в Чел.: преподавал теоретич. дисциплины в муз. уч-ще (1961–71); с 1971 преподаватель кафедры оркестрового дирижирования ЧГИИК. С 1981 доцент, с 1995 проф.