Родился 11 марта 1938 года в г. Первоуральске Свердловской области. В 1968 окончил Московскую консерваторию по классу композиции М.И. Чулаки. По окончании консерватории преподавал теорию музыки и композицию в Киргизском институте искусств (г. Фрунзе, ныне Бишкек, 1968—1970). Работал на кафедре теории Уральской государственной консерватории имени М.П. Мусоргского (1970-1973), в музыкальных училищах г. Краснотуринска (1973-1974) и г. Асбеста (1975-1976).

Есть немного людей, чей "микрокосм" абсолютно созвучен их "макрокосму", – краю, где они родились и выросли. Именно таков Н.М.Пузей. Всякая попытка определить его человеческий облик в категориях официальной лексики ["ведущий", "выдающийся" и др.] чревата опасностью не только впасть в трюизмы, но и не сказать самого главного, существенного. ... Музыкальные впечатления от уральского горнозаводского музыкального быта, полученные еще в детстве, обусловили тяготение композитора к фольклорным истокам. Пузей принадлежит к числу музыкантов, осваивающих народное искусство не по песенным сборникам или фонозаписям, а в его живом бытовании. ... Какой бы ни была конкретная тема того или иного произведения Пузея, все его творчество глубоко лирично и по тому строю чувств, который в нем запечатлен, и по своему стилю. Одно из наиболее привлекательных ее качеств – богатейший мелодизм, восходящий, с одной стороны, к народно-песенным истокам, с другой – воплощпющий характерную для современного музыкального мышления тенденцию к линеарности. Мелос наполняет всю фактуру в сочинениях Пузея, сообщая им свободу и органичность в развертывании музыкальной мысли.