Родился 25 апреля 1908 г. в Петербурге. Обучался игре на фортепиано у С.В. Алперс. В 1920—1925 гг. выступал как солист-пианист, затем работал аккомпаниатором в Ленинградской филармонии (1925—1930). В 1930—1933 гг. работал дирижером в Ленинграде, Краснодаре, Минске, Витебске, Гомеле, Ашхабаде. С 1933 по 1937 г. — дирижер и заведующий музыкальной частью драматических театров и театров музыкальной комедии (Ленинград, Краснодаре, Ташкент, Иваново, Таганрог). В сезон 1936—1937 гг. — дирижер симфонического оркестра в Таганроге. В 1941 окончил Свердловскую консерваторию по классу композиции М.П. Фролова и В.Н. Трамбицкого. В качестве дипломной работы представил Первую симфонию. В 1945—1946 гг. занимал пост главного дирижера оркестра Свердловского областного радиокомитета. В 1947—1949 гг. был художественным руководителем Дворца культуры им. М. Горького в Свердловске. С 1951 — дирижер театров и симфонических оркестров в Уфе, Алма-Ате, Ленинграде.

Родился 14 мая 1921 года в городе Шадринске Курганской области в семье потомственных железнодорожников. Начал заниматься на тромбоне в самодеятельном духовом оркестре в 1932 г. В 1936 г. поступил в Свердловское музыкальное училище им. П. И. Чайковского, где его педагогами были А. Г. Волков и И. М. Жилинский и консультантом — В. И.Щёлоков. Уже с третьего курса, в 17 лет, был принят в группу тромбонов оркестра Свердловского театра оперы и балета им. А.В. Луначарского. В 1990 г. Б.Г. Манжора был удостоен почетного звания Заслуженный деятель искусств РСФСР. В 1992 г. он становится членом Союза театральных деятелей России. Более сорока лет продолжалась его исполнительская и просветительская деятельность как тромбониста и музыковеда. В его классе подготовлено более двухсот учеников — тромбонистов, тубистов, музыковедов. Им опубликовано более трёхсот музыковедческих и методических работ, среди которых книги «Саратовский академический театр оперы и балета» (в 2-х томах), «Государственный Уральский русский народный хор», «Методика обучения игре на тромбоне» (Киев, 1976). Среди музыкальных произведений, написанных Б.Г. Манжорой, известность получили произведения для тромбона: «Концертный этюд», «Эскиз», «Концерт для тромбона и фортепиано».18 апреля 2011 г. в Большом зале Саратовской консерватории имени Л. Собинова состоялся мемориальный концерт, посвященный 90-летию профессора Б.Г. Манжоры.